Intégrale de \( \sin^3(x) \cos^2(x) \)

Dérivation et évaluation

Évaluez l'intégrale :

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \]

Réécrivons l'intégrale en isolant un facteur sinus unique :

\[ = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) et substituez :

\[ = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

Développons l'intégrande :

\[ = \int (\cos^2(x) - \cos^4(x)) \sin x \, dx \]

Utilisez l'intégration par substitution : posons \( u = \cos x \), ce qui donne \( du = -\sin x \, dx \) ou \( \sin x \, dx = -du \). En substituant ceci, on obtient :

\[ = - \int (u^2 - u^4) \, du \]

Utilisez la formule d'intégrale courante \( \int u^n \, du = \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} + c \) pour évaluer l'intégrale :

\[ - \left( \dfrac{1}{3} u^3 - \dfrac{1}{5} u^5 \right) + c = - \dfrac{1}{3} u^3 + \dfrac{1}{5} u^5 + c \]

où \( c \) est la constante d'intégration.

Revenons à la variable initiale en remplaçant \( u = \cos x \) pour obtenir la réponse finale :